4. 數이야기

수 이야기

[여담]

 

여담으로 우리가 알고 있다는 상식 중에 학교에서 공부한 수에 대하여 생각해 보면 의외로 작은 수자의 수만 알고 있고 여러 가지의 재미있는 수가 있다는 것을 우리가 잘 모르고 있습니다.

 

4. 數이야기

 

부자하면 유태인이 많고 그 이유는 유태인이 상술商術에 능하고 상술에 능한 것은 어릴 적부터 수數의 개념과 응용이 타민족보다 뛰어 나기 때문이라고도 합니다.

소시 적에 책을 보며 불가사의不可思議도 수의 단위이고 제일 큰 수 단위는 무량대수無量大數라고 한 것이 기억에 남 읍니다.

새삼 무량대수란 단어를 써보니 왠지 意識이 크게 확장되는 기분이 듭니다.

부자가 수와 연상되니 부자 되시라고 수이야기를 재미 삼아 풀어보겠읍니다.

 

우리가 현재 사용하는 수표기數表記 즉 기수법記數法은 아라비아숫자로 표기하는 자리 잡기 기수법(같은 글자가 그 자리에 따라 다른수를 나타내는 인도에서 유래한 기수법)으로 사용되고 있으며 숫자수에 따라 이진법 십진법등이 있고 서양은 10의3승(천단위, 세자리)기준으로 자릿수가 바뀌고 우리 나라를 포함한 한자문화권 은 10의4승(만단위,네자리)기준으로 자릿수가 바뀝니다.

그래서인지 서양은 천 단위 변화 밀레니엄등 천년왕국을 논하나 동양은 만단위 변화 만년왕국을 논하니 차원이 다른 것 같읍니다.

 

우리의 수 단위는 중국 송나라 주세걸의 <산학계몽>에서 그 유래를 찾을수 있으며, 고대 중국으로 부터 이어진 수 단위(일,십,백,천,만,억,조,경,해,서,양,구,간,정,재) 들 중 제일 큰 단위는 재載입니다.

사용되는 자릿수 10의4승 기준으로 풀어보면 萬이10의4승, 億이 10의8승이므로, 載는 10의44승에 해당됩니다. 載란 천재일우千載一遇란 사자성어에서 볼수 있읍니다.

<좀처럼 만나기 어려운 기회>로 풀이 되지만 10의 44승 분의 일이란 확률로 풀이해도 거의 오지 않는 드문 기회라 할 수 있읍니다.

이후에 인도 불교의 수 관념(극極,항하사,아승지,나유타,불가사의,무량대수)이

겹쳐져 사용하고 있으며 이 또한 10의4승 기준으로 풀어보면 극은 재보다 한 단계 위이므로 10의48승 불가사의는 10의64승 무량대수는 10의68승이라 볼 수 있읍니다.

한자의 뜻은 무한을 뜻하지만 수단위로는 有限이며, 허긴 아프리카 부쉬멘같은 미개종족의 수는 1과2이고 그 외는 그저<많다>로 표시한다고 합니다.

 

문명국에서 큰 수를 쉽게 나타낼 수 있는 것은 바로 0(영)을 사용한 자리 잡기 기수법을 사용하기 때문이고 그 골자는 기호와 숫자로서의 0의 발견(이또한 인도에서 유래 되었다고 한다)임을 주시할 필요가 있읍니다.

 

큰 수를 얘기하면 우리는 겁劫이란 단어를 떠 올릴 수 있읍니다.

겁은 불교 문화권에서 가장 긴 시간단위이며, 그 시간의 길이는 문헌에 따라 일정치 않지만 달구지로 한나절 걸리는 거리(약14km)를 한 변으로 하는 정육면체의 바위를 선녀의 옷자락으로 1백년에 한 번씩 스쳐 바위가 다 닳아 없어져도 겁은 끝나지 않는 다고 하니 겁은 無限時間을 얘기하는 것이라 생각합니다.

 

대체로 한世界가 생겼다가 없어지는 동안을 대겁大劫이라 하고 그사이는 80小劫으로 이루어져 있다고 한다면, 한태양계가 一世界이고 그 세계가 천개 모인 것을 小千世界 소천세계가 천개 모인 것을 中千世界 또 그것이 천개 모인 것을 大千世界 또는 三千大千 世界라고도 합니다.

 

이宇宙에는 대천세계 같은 것이 한량없어 이를 티끌 수효와 같은 세계 미진수세계 微塵數世界라고 하니 다함이 없는 세계 즉 무진세계無盡世界입니다.

 

<정리>

 

일(一) 10^0, 십(十) 10^1, 백(百) 10^2, 천(千) 10^3, 만(萬) 10^4, 억(億) 10^8

조(兆) 10^12,경(京) 10^16,해(垓) 10^20,서(枾) 10^24,양(穰) 10^28,구(溝) 10^32

간(澗) 10^36,정(正) 10^40,재(載) 10^44,극(極) 10^48, 항하사(恒河沙) 10^52,

아승지(阿僧祗) 10^56, 나유타(那由他) 10^60, 불가사의(不可思議) 10^64

무량대수(無量大數) 10^68

 

최근 어느 신문을(조선일보) 보니 초끈 이론으로 본 천체 과학자에 의하면 전체우주는 태양계를 포함한 우주와 같은 크기의 우주가 10의500승개가 있다고 하니 사실여부를 떠나 숫자만으로도 무진세계입니다.

 

1뒤에 0(영)이 100개 붙는 것을 구골(Googol)이라고 합니다.

구골로 이루어진 수를 구골플랙스(Googolplex)라고 하니 10의100승은 1구골플랙스이고 10의500승은 5구골플랙스라고 읽으면 될 것 같읍니다.

구골 10^100,센틸리온 10^600,스큐스수 10^3400,구골플렉스 10^10^100, 그레이엄 수 아무리 새로운 단어로 더 큰 수를 나타내도 <가장큰수>에는 결코 도달 할 수 없읍니다.

그 이유는 가장 큰 수 라는게 없기 때문이다.

물론 가장 작은 수도 없지만...

 

아우구스티누스의 다음과 같은 말도 한번 음미해볼 필요는 있읍니다.

<神은 모든 數를 알고 있고 신의 앎은 헤아릴 수 없다. 한없이 이어지는 수도 헤아릴 수 없는 것이긴 하지만 그러한 무한이라도 신의 앎 안에 있다.

우리가 말로 나타낼 수 없는 어떤 방식으로 모든 무한이 신에게는 분명 有限하게 여겨질 것이다.>

 

무한無限을 얘기하면 우선 피타고라스(BC569-500)시절 무리수無理數가 떠오를 것입니다.

 

초기의 피타고라스 학파는 범자연수(정수)와 그 비율(분수)만 있으면 즉 유리수有理數(0.333...같은 무한순환소수도 1/3처럼 정수비율로 나타내므로 유리수임)만 가지고도 진리의 완전한 체계를 논리적으로 세울 수 있다고 보았으나 그세 계를 무너뜨린 것이 바로 무리수(irrational number)의 발견 이었읍니다.

 

끝나지 않고 비율로도 표시할 수 없는 수, 예를 들면 2(이)제곱근이 그들 종파의 모든 믿음 체계를 흔들었읍니다.

교단의 일원인 히파소스는 외부세계에 그 비밀(무리수가 잇다는 사실)을 누설한 죄로 무서운 형벌을 받았다고 합니다.

고대 그리스 기하학은 결국 히파소스의 누설(무리수 발견 공표)로 부터 시작

되었다고도 할 수 있읍니다.

대표적 무리수엔 원주율로 표기 하는 파이(ㅠ:초월수라고도 함)가있고 파이의 발견으로 이천년 이상 동안 수학자들을 고민시킨 문제가 있읍니다.

즉<주어진 원과 같은 넓이를 가진 정사각형을 작도하라>오래세월 수학자들이 이 문제를 풀지 못하다가 18세기경 어느 수학자가 파이가 무리수임을 증빙 하므로써 해결 되었으나 요즈음은 저학년 학생들도 파이가 무리수이므로 원과 같은 넓이의 정사각형을 작도 할 수 없다고 쉽게 대답하는 문제입니다.

 

시대와 환경이 바뀌며 의식수준이 그만큼 변화되고 확장 되었다고도 볼 수 있지요. 무리수 얘기가 나왔으니 이런 얘기도 한번 해 보겠읍니다.

데카르트 좌표계(흔히쓰는 xy좌표계)에 길이 5인 선분이 있다고 하고, 그 선분위에 즉0(영)에서 5까지 사이에 점을 찍는다면 몇 개나 있을까요? 물론 무한합니다.

그러면 선분위에 임의로 한 점을 찍는다면 그 점이 유리수(정수와분수)일 확률은 얼마일까요? 0%입니다.

 

임의로 찍은 점이 무리수일 확율은 확율적으로 100%임은 이미 수학자들이 증빙하였읍니다. 그만큼 무리수가 많고, 유리수의 모임으로는 실한 직선이 만들어 지지 않고 구멍이 숭숭 뚫린 거의 선분 같지도 않을것입니다.

사실 그 안에 유리수도 무한개 있는데...이는 모든 물체가 원자로 이루어져 있고 원자의 구성소도 실지 진동하는 허공체로서 결국 모든 물체는 허공과 같다는 것을 연상 시킵니다.

 

점点얘기가 나왔으니 이런 예도 들어보자.

1cm기준으로 직선(선/일차워), 정사각형(평면/이차원),정육면체(공간/삼차원)들이 있을 때 선 평면 공간 내에 점을 찍으면 어느 곳에 점이 많을까?

물론 답은 같다 입니다. 직선에는 평면만큼 평면에는 공간만큼 많은 점이 있다.

무한에 관한한 차원은 관계 없읍니다.

즉n차원 연속적 공간은 직선과 같은 수의 점을 갖는 다는 것은 이미 증빙되어 있다.

헌데 点은 크기가 있을까요???

 

1보다 큰 수와 무한을 얘기하다 보니 작은 수(소수小數)얘기를 잊은 것 같다.

1이하 수 소수를 우리 수단위로 나타내면 분分10의-1승, 리里10의-2승, 모毛10의-3승 , 사絲, 홀, 미微, 섬, 사沙, 진, 애, 묘, 막, 모호模糊, 준순, 수유, 순식舜息, 탄지, 찰나刹那, 육덕, 공허空虛, 청정淸淨 입니다.

소수에 사용되는 10의-1승 기준으로 풀어 보면 미세微細하다고 할 때 미는 10의-6승 이고 nano단위의 10의-9승은 진에 해당합니다. 찰나는 10의-18승, 공허도 수단위로 10의-20승이고 깨끗함을 나타내는 청정도 수단위로 10의-21승을 나타내니 새삼스럽읍니다.

 

<정리>

 

분(分) 10^-1, 리(厘) 10^-2, 모(毛) 10^-3, 사(絲) 10^-4, 홀(忽) 10^-5

미(微) 10^-6, 섬(纖) 10^-7, 사(沙) 10^-8, 진(塵) 10^-9, 애(埃) 10^-10

묘(渺) 10^-11, 막(漠) 10^-12, 모호(模湖) 10^-13, 준순(逡巡) 10^-14

수유(須臾) 10^-15, 순식(瞬息) 10^-16, 탄지(彈指) 10^-17, 찰나(刹那) 10^-18

육덕(六德) 10^-19, 공허(空虛) 10^-20, 청정(淸淨) 10^-21

 

 

인도에서 유래한 0을 사용한 자리 잡기 기수법 사용은 중세(13세기)에 와서 상용화되기 시작했고 곱셈 나누셈은 15세기 그리고 소수표기는 16세기말에 상용 되엇다고 합니다.

0을 사용했기 때문에 아주 큰 수도 아주 작은 수도 쉽게 나타낼 수 있읍니다.

옛사람들이 그 숫자들의 크기를 어림할 수 있었을까?

의문이 들지만 동양 정신세계에는 가늠할 수 있었던 숫자란 생각도 듭니다.

아주 오래전 인도 베다경등 동양 정신세계에서는 우주의 무한함을 논하고 만물은 진동하는 에너지 체라는 미소 양자단위를 설명했듯이 무한히 큰 것과 무한히 작은 것은 가시광선세계속의 허상이 아닌 정신세계속의 실체일수 있읍니다.

수數는 인간생활과 문화 그리고 모든 과학 분야에 필수적입니다.

 

이러한 수는 인간이 만든 것일까? 라는 의문을 제기하는 수학/철학자들이 있습니다. 사람이 만든 것 이라면 우리 인간은 수에 대해 모든 것을 알아야 하는데 사실은 그렇지 못합니다.

가장 작은 수도 가장 큰 수도 모릅니다. 태초의 시작과 우주의 끝을 모르듯이...

그렇다면 수는 누가 만든 것일까? 아니면 원래부터 그냥 있는 것인가 시작도 끝도 없는 우주처럼 우리의 본래처럼 그냥 있는 것이 아닐까? 의문이 꼬리를 이으니 수를 공부하면 저절로 철학을 공부하는 것이라.

 

현대수학을 무한의 연구라고도 한 합니다. 무한을 연구하던 유명한 수학자들 중엔 미쳐서 죽은 이들도 있다고 합니다. 미친다는 것은 정신차원이 다른 세계에 존재 한다는 것이니 차라리 마음의 세계에서 무한의 도道를 찾는 것이 옳을 것 같읍니다.